São dadas duas progressões de números reais: \(\{a_n\}_{n \in \mathbb{N}}\), uma progressão aritmética de razão igual a 3, e \(\{b_n\}_{n \in \mathbb{N}}\), uma progressão geométri

Gabarito

D

Comentário do professor

Vamos analisar a alternativa correta, que afirma que a razão da progressão aritmética \( \{c_n\}_{n \in \mathbb{N}} \) é igual a 4.

Primeiro, temos duas progressões:

• Progressão Aritmética \( \{a_n\} \): a razão é 3, então o termo geral pode ser escrito como:

\( a_n = a_1 + 3(n-1) \)

• Progressão Geométrica \( \{b_n\} \): a razão é \( \frac{1}{9} \) e todos os termos são positivos. O termo geral é:

\( b_n = b_1 \left(\frac{1}{9}\right)^{n-1} \)

Agora, a sequência \( \{c_n\} \) é definida como:

\( c_n = 2a_n + | \log_3(b_n) | \)

Computemos \( c_1 \) e \( c_2 \):

Para \( c_1 \):

\( c_1 = 2a_1 + | \log_3(b_1) | \)

Para \( c_2 \):

\( c_2 = 2a_2 + | \log_3(b_2) | \)

\( c_2 = 2(a_1 + 3) + | \log_3(b_1 \cdot \frac{1}{9}) | \)

\( c_2 = 2a_1 + 6 + | \log_3(b_1) - 2 | \)

Assim, podemos simplificar a expressão para \( c_2 \):

\( c_2 = 2a_1 + 6 + | \log_3(b_1)| - 2 \)

\( c_2 = 2a_1 + 4 + | \log_3(b_1)| \)

Agora, vamos encontrar a razão da progressão \( \{c_n\} \):

\( r_c = c_2 - c_1 \)

\( r_c = (2a_1 + 4 + | \log_3(b_1)|) - (2a_1 + | \log_3(b_1)|) \)

Cancelando os termos semelhantes:

\( r_c = 4 \)

Portanto, a razão da progressão aritmética \( \{c_n\}_{n \in \mathbb{N}} \) é de fato igual a 4, como afirmado na alternativa correta.