Quantos reais João perdeu na última aposta?

Gabarito

Errado

Comentário do professor

Para entender por que a última aposta de João foi de R$ 32,00, vamos analisar a sequência de suas apostas.

João começou apostando R$ 0,50 na primeira rodada e, a cada rodada seguinte, ele dobrou o valor da aposta. Assim temos:

• 1ª aposta: R$ 0,50
• 2ª aposta: R$ 1,00 (dobro da primeira)
• 3ª aposta: R$ 2,00 (dobro da segunda)
• 4ª aposta: R$ 4,00 (dobro da terceira)
• 5ª aposta: R$ 8,00 (dobro da quarta)
• 6ª aposta: R$ 16,00 (dobro da quinta)
• 7ª aposta: R$ 32,00 (dobro da sexta)

Agora, podemos perceber que os valores das apostas formam uma progressão geométrica (PG) com a primeira aposta sendo R$ 0,50 e a razão da PG sendo 2.

A soma total das apostas feitas por João até a sétima rodada foi de R$ 63,50. Para encontrar quantas apostas ele fez, notamos que, como o total é obtido somando os termos da PG, podemos usar a fórmula:

\( S_n = \frac {a_1 (q^n - 1)}{q - 1} \)

Onde:

• \( a_1 = 0,50 \)
• \( q = 2 \)

Substituindo esses valores na fórmula, temos:

\( 63,50 = \frac {0,50 (2^n - 1)}{2 - 1} \)

Simplificando, obtemos:

\( 127 = 2^n - 1 \)

\( 128 = 2^n \)

Assim, concluímos que \( n = 7 \), ou seja, João apostou 7 vezes.

A última aposta, que é a sétima, pode ser calculada através da fórmula do enésimo termo da PG:

\( a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)} \)

\( a_7 = 0,50 \cdot 2^{6} \)

\( a_7 = 0,50 \cdot 64 \)

\( a_7 = 32 \text{ reais} \)

Portanto, a última aposta feita por João foi de R$ 32,00, confirmando a alternativa correta.