Seja a progressão geométrica: \(\sqrt{5},\, \sqrt[3] {5},\,\sqrt[6] {5}, ...\) O quarto termo dessa progressão é:

Gabarito

D

Comentário do professor

Na progressão geométrica dada, temos os seguintes termos:

\(\sqrt{5},\, \sqrt[3]{5},\, \sqrt[6]{5}\)

Podemos reescrever esses termos como potências com expoentes fracionários:

\(5^{\frac{1}{2}},\, 5^{\frac{1}{3}},\, 5^{\frac{1}{6}}\)

Agora, precisamos determinar a razão (q) dessa progressão geométrica. A razão é obtida dividindo um termo pelo anterior:

\(q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{5^{\frac{1}{3}}}{5^{\frac{1}{2}}}\)

Aplicando a propriedade das potências, que diz que ao dividir potências de mesma base, conservamos a base e subtraímos os expoentes, obtemos:

\(q = 5^{\frac{1}{3} - \frac{1}{2}} = 5^{\frac{2 - 3}{6}} = 5^{-\frac{1}{6}}\)

Agora que conhecemos a razão, podemos calcular o quarto termo da PG. O termo \(a_4\) pode ser encontrado multiplicando o terceiro termo \(a_3\) pela razão \(q\):

\(a_4 = a_3 \times q = 5^{\frac{1}{6}} \times 5^{-\frac{1}{6}}\)

Mais uma vez, aplicamos a propriedade de multiplicação de potências, somando os expoentes:

\(a_4 = 5^{\frac{1}{6} - \frac{1}{6}} = 5^0\)

Sabemos que qualquer número elevado a zero é igual a 1, logo:

\(a_4 = 1\)

Portanto, o quarto termo dessa progressão geométrica é:

1

Desse modo, a alternativa correta é:

Letra D