Se, para \(n ∈ \mathbb N\) , an representa o termo geral de uma progressão aritmética de razão igual a \(-{ \large 1 \over 2}\) , e \(f: \mathbb R \to \mathbb R\) é a função defini

Gabarito

A

Comentário do professor

Na questão apresentada, a alternativa correta afirma que a sequência definida por \( b_n = f(a_n) \) é uma progressão geométrica de razão igual a \({ \large 1 \over 3}\).

Vamos analisar os elementos dessa afirmação.

Sabemos que \( a_n \) é o termo geral de uma progressão aritmética (PA) com razão \( r = -\frac{1}{2} \). Assim, podemos expressar \( a_n \) como:

\( a_n = a_1 + (n-1)\cdot r = a_1 - \frac{(n-1)}{2} \)

Por outro lado, temos a função \( f(x) = 9^x \). Portanto, o termo \( b_n \) pode ser reescrito como:

\( b_n = f(a_n) = 9^{a_n} = 9^{a_1 - \frac{(n-1)}{2}} \)

Agora, podemos manipular essa expressão. Sabendo que:

\( b_n = 9^{a_1} \cdot 9^{-\frac{(n-1)}{2}} \)

Isso se torna:

\( b_n = 9^{a_1} \cdot \left(9^{-\frac{1}{2}}\right)^{n-1} \)

Sabemos que \( 9^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{3} \), então podemos reescrever \( b_n \) como:

\( b_n = 9^{a_1} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{(n-1)} \)

A forma \( b_n = C \left(\frac{1}{3}\right)^{(n-1)} \), em que \( C = 9^{a_1} \), caracteriza uma progressão geométrica (PG), onde a razão é \({ \large 1 \over 3}\).

Portanto, podemos concluir que a sequência \( b_n \) realmente forma uma progressão geométrica de razão \({ \large 1 \over 3}\), validando assim a alternativa correta.