Quanto vale o primeiro termo da progressão geométrica?

Gabarito

B

Comentário do professor

Para resolver a questão proposta, devemos utilizar as informações sobre a progressão geométrica (PG) e suas somas.

Vamos começar definindo a PG com o primeiro termo \( a_1 \) e a razão \( q \). A soma dos infinitos termos é dada pela fórmula:

\( \frac{a_1}{1 - q} = 6 \) ... (I)

Essa equação indica que o primeiro termo \( a_1 \) é igual a \( 6(1 - q) \):

\( a_1 = 6 - 6q \) ... (II)

Agora, temos a soma dos quadrados dos termos da PG. A nova PG é \( a_1^2, a_1^2 q^2, a_1^2 q^4, \ldots \). A soma dessa nova PG é:

\( \frac{a_1^2}{1 - q^2} = 12 \)

Podemos reescrever \( 1 - q^2 \) como \( (1 - q)(1 + q) \). Assim, temos:

\( \frac{a_1^2}{(1 - q)(1 + q)} = 12 \)

Multiplicando os dois lados por \( (1 - q)(1 + q) \), podemos expressar a relação entre \( a_1 \) e \( q \):

\( a_1 = 12 \cdot \frac{(1 - q)(1 + q)}{a_1} \)

Substituindo \( a_1 \) da equação (II) na nova expressão, encontramos:

\( (6 - 6q) = 12 \cdot \frac{(1 - q)(1 + q)}{6 - 6q} \)

Isso leva a uma simplificação que pode ser organizada para resolver \( q \) e, eventualmente, encontrar \( a_1 \). Ao resolver as equações, chegamos ao valor de \( q = 0.5 \).

Substituindo \( q \) novamente na equação (II):

\( a_1 = 6 - 6 \cdot 0.5 = 3 \)

Portanto, o valor do primeiro termo da progressão geométrica é \textbf{3}, que corresponde à alternativa correta.