Se \((a_n)_{n \in IN}\) é uma progressão geométrica cujo primeiro termo é igual a 125 e cuja razão é igual a \(1 \over 25\), então, a sequência definida por bn = log5 an é uma prog

Gabarito

A

Comentário do professor

Vamos analisar a alternativa A, que afirma que a sequência definida por \(b_n = \log_5 a_n\) é uma progressão aritmética (PA), com primeiro termo igual a 3 e razão igual a -2.

Começamos considerando a sequência \((a_n)_{n \in \mathbb{N}}\), que é uma progressão geométrica (PG) com primeiro termo \(a_1 = 125\) e razão \(q = \frac{1}{25}\).

Para obter os termos da sequência \(b_n\), calculamos os primeiros três elementos:

1. Para \(n = 1\):
\(a_1 = 125 = 5^3\)
Portanto, \(b_1 = \log_5 a_1 = \log_5 125 = \log_5 5^3 = 3.\)

2. Para \(n = 2\):
\(a_2 = 125 \cdot \left(\frac{1}{25}\right) = 125 \cdot 5^{-2} = 5^3 \cdot 5^{-2} = 5^{3-2} = 5^1\)
Portanto, \(b_2 = \log_5 a_2 = \log_5 5^1 = 1.\)

3. Para \(n = 3\):
\(a_3 = 125 \cdot \left(\frac{1}{25}\right)^2 = 125 \cdot 5^{-4} = 5^3 \cdot 5^{-4} = 5^{3-4} = 5^{-1}\)
Portanto, \(b_3 = \log_5 a_3 = \log_5 5^{-1} = -1.\)

Assim, temos os termos da sequência \(b_n\):
\(b_1 = 3,\) \(b_2 = 1,\) \(b_3 = -1.\)

Agora, vamos verificar a razão da progressão aritmética:
A diferença entre os termos é:

\(b_2 - b_1 = 1 - 3 = -2,\)
\(b_3 - b_2 = -1 - 1 = -2.\)

Como a razão é constante e igual a \(-2\), podemos concluir que a sequência \((b_n)\) é uma PA com:
- Primeiro termo: \(b_1 = 3\)
- Razão: \(-2\).

Dessa forma, a asserção da alternativa A está correta.