Qual é o número que deve ser somado aos números 1, 5 e 7 para que os resultados dessas somas, nessa ordem, formem três termos de uma progressão geométrica?

Gabarito

A

Comentário do professor

Vamos entender como o número que deve ser somado aos números 1, 5 e 7 forma uma progressão geométrica (PG).

Chamaremos esse número de \(\mathbf{x}\). Assim, a sequência resultante será:

\(\mathbf{(1+x,\, 5+x,\, 7+x)}\)

Para que essa sequência forme uma PG, é necessário que o termo central elevado ao quadrado seja igual ao produto dos termos que estão em posições equidistantes a ele. Isso nos leva à seguinte equação:

\((5+x)^2=(1+x)(7+x)\)

Expandindo ambos os lados, temos:

\(25 + 10x + x^2 = 7 + x + 7x + x^2\)

Agora, podemos simplificar a equação, eliminando \(x^2\) de ambos os lados:

\(25 + 10x = 7 + 8x\)

Isolando os termos relacionados a \(x\), conseguimos:

\(10x - 8x = 7 - 25\)

Logo, obtemos:

\(2x = -18\)

Dividindo ambos os lados por 2:

\(x = -9\)

Assim, o número que deve ser somado aos números \(1\), \(5\) e \(7\) para que eles formem uma PG é \(\mathbf{-9}\), indicando que realmente estamos somando um número negativo.

A alternativa correta é a letra A.