A série alternada, apresentada a seguir, converge absolutamente. \({\large{1 \over 2}}-{\large{1 \over 4}}+{\large{1 \over 8}}-{\large{1 \over 16}}+{\large{1 \over 32}}- \cdots\) S

Gabarito

B

Comentário do professor

Para resolver a série alternada apresentada, notamos que os termos sequenciais são:

\({\large{1 \over 2}} - {\large{1 \over 4}} + {\large{1 \over 8}} - {\large{1 \over 16}} + {\large{1 \over 32}} - \cdots\)

Perceba que essa série pode ser reescrita com os termos formando uma progressão geométrica (PG). O primeiro termo (\(a_1\)) é \(\frac{1}{2}\) e a razão (\(q\)) da PG é \(-\frac{1}{2}\).

Ao identificarmos \(a_1\) e \(q\), podemos aplicar a fórmula da soma dos termos de uma PG infinita:

\(S = \frac{a_1}{1 - q}\)

Agora, substituímos os valores:

\(S = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \left(-\frac{1}{2}\right)}\)

Resolvendo no denominador:

\(S = \frac{\frac{1}{2}}{1 + \frac{1}{2}}\)

Isso se simplifica para:

\(S = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}}\)

Agora, multiplicamos pelo inverso do denominador:

\(S = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3}\)

Resultando em:

\(S = \frac{1}{3}\)

Assim, concluímos que a soma da série alternada converge para \(\frac{1}{3}\), confirmando que a alternativa correta é a letra B.