Analise as afirmativas a seguir. I - A sequência \(\Bigl ( \sqrt{2}; \ \sqrt[6]{2^5}; \ 2\sqrt[6]{2}; ...\Bigr )\) é uma progressão geométrica de razão \(\sqrt[3]{2}\). II - \(\sum

Gabarito

D

Comentário do professor

I - A sequência \(\Bigl ( \sqrt{2}; \ \sqrt[6]{2^5}; \ 2\sqrt[6]{2}; ...\Bigr )\) é uma progressão geométrica de razão \(\sqrt[3]{2}\).

Correto. Para verificar, vamos reescrever os termos:

• \(\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{6}}\)
• \(\sqrt[6]{2^5} = 2^{\frac{5}{6}}\)
• \(2\sqrt[6]{2} = 2 \cdot 2^{\frac{1}{6}} = 2^{\frac{7}{6}}\)

Agora, podemos analisar as potências de 2:

Começamos com \(2^{\frac{3}{6}}\), em seguida temos \(2^{\frac{5}{6}}\) e depois \(2^{\frac{7}{6}}\). Agora, vamos calcular a razão entre esses termos:

A razão entre o segundo e o primeiro termo é

\(\frac{2^{\frac{5}{6}}}{2^{\frac{3}{6}}} = 2^{\frac{5}{6} - \frac{3}{6}} = 2^{\frac{2}{6}} = 2^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{2}\).

Analogamente, a razão entre o terceiro e o segundo termo é:

\(\frac{2^{\frac{7}{6}}}{2^{\frac{5}{6}}} = 2^{\frac{7}{6} - \frac{5}{6}} = 2^{\frac{2}{6}} = 2^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{2}\).

Portanto, a sequência configurada é sim uma progressão geométrica com razão \(\sqrt[3]{2}\).

II - \(\sum^{\text{n}}_{\text{j} = 1} (5\text{j} - 1) = \dfrac {5\text{n}^2 + 3\text{n}} 2\).

Correto. Vamos expandir a soma:

\(\displaystyle \sum_{j=1}^{n} (5j -1)\)

Isso se torna

= \(5(1 + 2 + 3 + \ldots + n) - n\).

Aplicando a fórmula da soma dos \(n\) primeiros números naturais \(= \dfrac{n(n+1)}{2}\), obtemos:

= \(5 \cdot \dfrac{n(n + 1)}{2} - n\)

= \(\dfrac{5n^2 + 5n}{2} - \dfrac{2n}{2}\)

= \(\dfrac{5n^2 + 3n}{2}\).

Assim, a afirmativa está correta.

III - \(\dfrac {\text{x}} 2 + \dfrac {\text{x}} 4 + \dfrac {\text{x}} 8 + ... = \text{x (para x} \ne 0)\).

Correto. Vamos definir \(S = \dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{4} + \dfrac{x}{8} + \ldots\).

Multiplicando ambos os lados por 2:

Isso nos dá:

\(2S = x + \left(\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{4} + \dfrac{x}{8} + \ldots\right)\).

A soma dentro do parêntese é exatamente \(S\). Assim, substituímos e obtemos:

\(2S = x + S\)

Portanto, isolando \(S\), temos:

\(2S - S = x\)

Logo, \(S = x\), confirmando a afirmativa como correta.

Assim, a alternativa correta é a letra D, pois as afirmativas I, II e III estão corretas.