Dado que x1,x2,x3, e x4, formam, nesta ordem, uma Progressão Geométrica de razão q, conclui-se que

Gabarito

Certo

Comentário do professor

A alternativa correta é:

\(( x_1^2 + x_2^2 + x_3^2) ( x_2^2 + x_3^2 + x_4^2) = (x_1 \cdot x_2 + x_2 \cdot x_3 + x_3 \cdot x_4)^2\)

Aproveitando a definição de uma Progressão Geométrica (PG), onde \(x_2 = x_1 \cdot q\), \(x_3 = x_1 \cdot q^2\), e \(x_4 = x_1 \cdot q^3\), podemos reescrever as expressões:

Calculando \(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2\):
\(x_1^2 + (x_1 \cdot q)^2 + (x_1 \cdot q^2)^2 = x_1^2(1 + q^2 + q^4)\)

Calculando \(x_2^2 + x_3^2 + x_4^2\):
\((x_1 \cdot q)^2 + (x_1 \cdot q^2)^2 + (x_1 \cdot q^3)^2 = x_1^2(q^2 + q^4 + q^6)\)

Substituindo os resultados acima na expressão da esquerda da alternativa:

\(( x_1^2(1 + q^2 + q^4))( x_1^2(q^2 + q^4 + q^6))\)
\(= x_1^4(1 + q^2 + q^4)(q^2 + q^4 + q^6)\)

Agora, vamos calcular o lado direito:

\(x_1 \cdot x_2 + x_2 \cdot x_3 + x_3 \cdot x_4 = x_1 \cdot (x_1q) + (x_1q) \cdot (x_1q^2) + (x_1q^2) \cdot (x_1q^3)\)
\(= x_1^2q(1 + q^2 + q^4)\)

Elevando ao quadrado:

\((x_1^2q(1 + q^2 + q^4))^2 = x_1^4q^2(1 + q^2 + q^4)^2\)

Comparando agora ambos os lados:

O lado esquerdo é \(x_1^4(1 + q^2 + q^4)(q^2 + q^4 + q^6)\) e, ao expandi-lo, chega-se a uma forma equivalente ao lado direito, que é \(x_1^4q^2(1 + q^2 + q^4)^2\). Assim, podemos garantir que a relação da alternativa é verdadeira.

Portanto, a alternativa c) é a correta.