Seja f: A → A uma função dada por \(f (x) = {\large 100x + 100 \over 100x - 100}\), com \(A = \mathbb{R} - {1}\) Acerca do que se propôs acima, considere as afirmações a seguir. I.

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Alternativa correta: I e II

Item I: Para a função \( f(x) = \frac{100x + 100}{100x - 100} \), vamos verificar se é injetora, ou seja, se \( f(x_1) = f(x_2) \) implica que \( x_1 = x_2 \). Supondo que \( f(x_1) = f(x_2) \), temos:

\( \frac{100x_1 + 100}{100x_1 - 100} = \frac{100x_2 + 100}{100x_2 - 100} \)

Multiplicando cruzado, chegamos a:

\( (100x_1 + 100)(100x_2 - 100) = (100x_2 + 100)(100x_1 - 100) \)

Isolando os termos, obtemos:

\( 10000 x_1 x_2 - 10000 x_1 + 10000 x_2 - 10000 = 10000 x_1 x_2 + 10000 x_1 - 10000 x_2 - 10000 \)

Cancelando e rearranjando os termos, resulta em:

\( 20.000 x_2 = 20.000 x_1 \)

Assim, concluímos que \( x_1 = x_2 \), portanto a função é injetora.

Item II: A função é chamada de sobrejetora se todos os elementos do contradomínio podem ser alcançados. O contradomínio aqui é \( \mathbb{R} \setminus \{1\} \). Para provar que \( f \) é sobrejetora, devemos mostrar que para todo \( k \neq 1 \) existe um \( x \in A \) tal que \( f(x) = k \). Assim, consideramos:

\( f(x) = k \implies \frac{100x + 100}{100x - 100} = k \)

Resolvendo essa equação, temos:

\( 100kx - 100k = 100x + 100 \)

Depois, agrupando os termos:

\( (100k - 100)x = 100k + 100 \)

Isolando \( x \), encontramos:

\( x = \frac{100k + 100}{100k - 100} \)

Como \( k \neq 1 \) implica que \( 100k - 100 \neq 0 \), para qualquer \( k \) diferente de \( 1 \), sempre existe um \( x \) no domínio tal que \( f(x) = k \). Portanto, a função é sobrejetora.