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Questão FC188525

Quais, dentre as funções apresentadas, são injetoras?

Funções e Inequações

CESGRANRIO · 2012

Sejam \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, g: \mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R} \quad \mbox e \quad h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}_+\) as funções definidas por f(x) = g(x) = h(x) = x2.


Quais, dentre as funções apresentadas, são injetoras?

  1. f, g e h
  2. g e h, apenas.
  3. g, apenas.
  4. h, apenas.
  5. nenhuma das três funções.
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Gabarito

Certo

Comentário do professor

Vamos analisar a função g dada por:

\(g(x) = x^2\) com domínio \(\mathbb{R}_+\), que significa que os valores de x devem ser todos os números reais não negativos (ou seja, \(x \geq 0\)).

Para que uma função seja injetora, precisamos garantir que valores diferentes no domínio resultem em valores diferentes na imagem. Vamos investigar o comportamento da função g:

Se considerarmos dois valores quaisquer de x dentro do domínio:

\(g(a) = a^2\) e \(g(b) = b^2\) com \(a, b \in \mathbb{R}_+\).

Se \(a \neq b\) e ambos são não negativos, então:

Se \(a > b\), temos:

\(g(a) = a^2 > b^2 = g(b)\).

Esse raciocínio é verdadeiro para qualquer par de valores distintos dentro do domínio \(\mathbb{R}_+\). Dessa forma, se \(a \neq b\), automaticamente teremos que \(g(a) \neq g(b)\).

Portanto, a função g é de fato injetora.

Isso confirma que, dentre as funções apresentadas, a única injetora é a função g. Assim, a resposta correta é a letra C.

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