Um estagiário de engenharia recebeu a incumbência de resolver o seguinte problema: ele precisava achar uma posição para o ponto P (x,y), restrito ao primeiro quadrante do plano xy,

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Para resolver o problema apresentado, precisamos analisar a configuração geométrica do triângulo que se forma com o ponto P (x, y), a origem e a interceptação da circunferência com o eixo x.

Sabemos que a circunferência tem um diâmetro de 100 m, o que nos permite calcular o raio: \( r = \frac{100}{2} = 50 \, \text{m} \).

Usando o Teorema de Pitágoras, podemos estabelecer a seguinte relação na circunferência:

\( x^2 + y^2 = 50^2 \)

\( x^2 + y^2 = 2500 \)

A área A do triângulo formado por P, a origem e o ponto de interseção no eixo x pode ser expressa pela fórmula:

\( A = \frac{x \times y}{2} \)

Isolando y, temos:

\( y = \frac{2A}{x} \)

Substituindo y na equação da circunferência, chegamos a:

\( x^2 + \left(\frac{2A}{x}\right)^2 = 2500 \)

Isso nos leva a manipular a equação, obtendo:

\( x^2 + \frac{4A^2}{x^2} = 2500 \)

Multiplicando por \( x^2 \) para eliminar o denominador, ficamos com:

\( x^4 - 2500x^2 + 4A^2 = 0 \)

Para encontrar a área máxima, devemos determinar onde a função \( A \) é maximizada. Ao aplicar a fórmula para o vértice de uma parábola:

\( z_v = \frac{-b}{2a} = \frac{2500}{2} = 1250 \)

Logo, temos:

\( x^2 = 1250 \)

Assim, x e y são iguais, pois estamos considerando o primeiro quadrante:

\( x^2 = y^2 = 1250 \)

A área máxima pode ser calculada por:

\( A_{max} = \frac{x \times y}{2} = \frac{1250}{2} = 625 \, m^2 \)

Portanto, confirmamos que a área máxima do triângulo ocorre quando a posição do ponto P permite que a área seja:

625 m²

Assim, a resposta correta é 625.