A raiz da função f(x) = 2x − 8 é também raiz da função quadrática g(x) = ax2 + bx + c. Se o vértice da parábola, gráfico da função g(x), é o ponto V(−1, −25), a soma a + b + c é ig

Gabarito

Errado

Comentário do professor

Vamos analisar a alternativa correta que nos dá a soma \( a + b + c = -21 \) para a função quadrática \( g(x) = ax^2 + bx + c \).

Primeiro, encontramos a raiz da função linear \( f(x) = 2x - 8 \). Para isso, igualamos a função a zero:

\( 2x - 8 = 0 \)

\( 2x = 8 \)

\( x = 4 \)

Assim, sabemos que \( x = 4 \) também é raiz da função \( g(x) \). Com isso, podemos substituir esse valor na função quadrática, resultando na seguinte equação:

\( g(4) = a(4^2) + b(4) + c = 0 \)

\( 16a + 4b + c = 0 \quad (i) \)

Além disso, sabemos que o vértice da parábola representa o ponto \( V(-1, -25) \). No caso de uma função quadrática, o vértice está na coordenada \( x_v = -\frac{b}{2a} \), que nos oferece outra relação:

\( -\frac{b}{2a} = -1 \)

\( b = 2a \quad (ii) \)

Por fim, sabemos que o valor da função \( g \) no vértice é \( y_v = -25 \), o que nos dá:

\( g(-1) = a(-1)^2 + b(-1) + c = -25 \)

\( a - b + c = -25 \quad (iii) \)

Substituímos \( b \) da equação (ii) na equação (iii):

\( a - 2a + c = -25 \)

\( -a + c = -25 \)

Rearranjando, obtemos:

\( c = a - 25 \quad (iv) \)

Agora, substituímos \( b \) e \( c \) a partir das equações (ii) e (iv) na equação (i):

\( 16a + 4(2a) + (a - 25) = 0 \)

\( 16a + 8a + a - 25 = 0 \)

Resolvendo essa equação, temos:

\( 25a - 25 = 0 \)

\( 25a = 25 \)

\( a = 1 \)

Com \( a = 1 \), podemos, então, encontrar os valores de \( b \) e \( c \):

\( b = 2(1) = 2 \)

\( c = 1 - 25 = -24 \)

Por fim, calculamos a soma:

\( a + b + c = 1 + 2 - 24 \)

\( = -21 \)

Dessa forma, confirmamos que a alternativa correta é \( -21 \).