O valor mínimo assumido pela função f: [1,4] →IR, definida por f(x) = −x2 + 4x + 5, é igual a

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Vamos analisar a função definida por \( f(x) = -x^2 + 4x + 5 \) no intervalo \( [1,4] \).

Primeiramente, podemos observar que essa é uma função quadrática em que o coeficiente de \( x^2 \) é negativo (\(-1\)). Isso significa que o gráfico da função é uma parábola com concavidade para baixo.

A função quadrática possui um valor máximo que pode ser calculado, mas, como a questão pede o valor mínimo, devemos avaliar os extremos do intervalo dado.

O domínio da função está restrito a \( x \) no intervalo \( [1, 4] \), então vamos calcular os valores de \( f(x) \) nos extremos:

1. Para \( x = 1 \):

\( f(1) = -1^2 + 4 \cdot 1 + 5 \)

\( f(1) = -1 + 4 + 5 = 8 \)

2. Para \( x = 4 \):

\( f(4) = -4^2 + 4 \cdot 4 + 5 \)

\( f(4) = -16 + 16 + 5 = 5 \)

Agora, comparando os valores obtidos:

\( f(1) = 8 \) e \( f(4) = 5 \)

Portanto, o valor mínimo da função na faixa do intervalo \( [1, 4] \) é \( 5 \), que ocorre em \( x = 4 \).

Assim, a resposta correta é a alternativa C: 5.