O lucro de uma empresa pode ser calculado a partir da função L(x) = (kx − 16).(−x +10), em que x é a quantidade de unidades vendidas de seu produto e k \(\ne\) 0. Ao vender 9 unida

Gabarito

Errado

Comentário do professor

Para que a empresa maximize seu lucro ao vender 9 unidades, precisamos determinar o valor de k que tornará essa quantidade de vendas um ponto de máximo na função de lucro dada:

\(L(x) = (kx − 16)(−x + 10)\)

Dessa forma, ao expandir a função, obtemos:

\(L(x) = -kx^2 + (10k + 16)x - 160\)

A função de lucro \(L(x)\) é uma função quadrática que possui uma curva em forma de parábola, voltada para baixo (já que o coeficiente de \(x^2\) é negativo). O máximo dessa parábola ocorre no vértice.

Para encontrar o ponto de máximo, utilizamos a fórmula do x do vértice:

\(x_v = \dfrac{-b}{2a}\)

Aqui, \(a = -k\) e \(b = 10k + 16\). Queremos que esse ponto de vértice seja igual a 9:

\(x_v = \dfrac{-(10k + 16)}{2(-k)} = 9\)

Realizando as simplificações e isolando \(k\), obtemos:

\(-2(5k + 8) = 18k\)

isso resulta em:

\(5k + 8 = 9k\)

Resolvendo a equação:

\(9k - 5k = 8\)

\(4k = 8\)

\(k = \dfrac{8}{4} = 2\)

Portanto, quando \(k = 2\), a empresa maximiza seu lucro ao vender 9 unidades de produto.

Gabarito: letra E