O valor máximo da função de variável real \(f(x) = 4(1 + x)(6 − x)\) é

Gabarito

D

Comentário do professor

Vamos analisar a alternativa correta, que indica que o valor máximo da função \(f(x) = 4(1 + x)(6 - x)\) é 49.

Para encontrar esse valor máximo, primeiro precisamos expandir a função:

\(f(x) = 4(1 + x)(6 - x)\)

Expandindo a expressão, temos:

\(f(x) = 4(6 - x + 6x - x^2)\)

\(f(x) = 4(6 + 5x - x^2)\)

\(f(x) = 24 + 20x - 4x^2\)

Agora, percebemos que \(f(x)\) é uma função quadrática da forma \(f(x) = ax^2 + bx + c\), onde:

• \(a = -4\);
• \(b = 20\);
• \(c = 24\);

Como \(a < 0\), podemos concluir que a função tem um valor máximo que ocorre no vértice da parábola.

A coordenada y do vértice pode ser encontrada pela fórmula:

\(y_v = \frac{-(b^2 - 4ac)}{4a}\)

Substituindo os valores, temos:

\(y_v = \frac{-(20^2 - 4 \cdot (-4) \cdot 24)}{4 \cdot (-4)}\)

\(y_v = \frac{-(400 + 384)}{-16}\)

\(y_v = \frac{-784}{-16}\)

\(y_v = 49\)

Dessa forma, o valor máximo da função \(f(x)\) realmente é 49, confirmando que a alternativa correta está correta.