Questão FC188572
Seja A o conjunto infinito de funções fn , todas de IR em IR, dadas por fn = x2 + n . x + 1. O coeficiente n é um número real de modo que a cada valor de n corresponda uma função d
Funções e Inequações
CESGRANRIO · 2010
Seja A o conjunto infinito de funções fn , todas de IR em IR, dadas por fn = x2 + n . x + 1. O coeficiente n é um número real de modo que a cada valor de n corresponda uma função diferente das demais.
As Figuras 1 e 2 abaixo ilustram, respectivamente, os gráficos de f0e f3.
Seja B o conjunto dos vértices dos gráficos de todas as funções de A. O conjunto B corresponde à
- reta y = x + 1.
- reta y = 1 – x.
- parábola y = x2 – 1.
- parábola y = 1 – x2.
- parábola y = 1 – 2x2.
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Gabarito
D
Comentário do professor
Para a alternativa correta, que afirma que o conjunto B corresponde à parábola \(y = 1 - x^2\), vamos analisar a formação dos vértices das funções \(f_n = x^2 + nx + 1\).
Sabemos que a função \(f_n\) é uma função do segundo grau, e o vértice dela pode ser encontrado através da fórmula:
\(x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{n}{2}\)
Com esse valor de \(x_v\), podemos determinar o valor do y</_v</strong> utilizando a função \(f_n\):
\(y_v = f_n(x_v) = \left(-\frac{n}{2}\right)^2 + n\left(-\frac{n}{2}\right) + 1\)
Ao calcular isso, obtemos:
\(y_v = \frac{n^2}{4} - \frac{n^2}{2} + 1 = -\frac{n^2}{4} + 1\)
Agora, observamos que esses vértices \( (x_v, y_v) \) podem ser expressos parametrizando \(x_v\) como:
\(x_v = -\frac{n}{2}\)
Substituindo essa relação na expressão para \(y_v\), chegam ao resultado:
\(y_v = -\left(-\frac{n}{2}\right)^2 + 1\)
Assim, notamos que a trajetória dos vértices é de fato uma parábola definida por:
\(y = 1 - x^2\)
Isso confirma que o conjunto B, que representa os vértices das funções \(f_n\), é estritamente a parábola \(y = 1 - x^2\). Assim, a alternativa correta é a opção D, que representa perfeitamente a relação entre os vértices das funções quadráticas consideradas.
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