Para valores reais a, b e c dados, a função quadrática \(f(x)=ax^2+bx+c\), \(a ≠ 0\), é tal que \(f(x) \le f(6)=14\), \(∀ x ∈ \mathbb{R}\). É correto afirmar que a equação \(ax^2+b

Gabarito

Errado

Comentário do professor

Vamos analisar a alternativa correta em detalhe:

A função quadrática dada é \(f(x) = ax^2 + bx + c\) e sabemos que \(a \neq 0\). A condição \(f(x) \le f(6) = 14\) para todo \(x \in \mathbb{R}\) implica que a função tem um máximo em \(x=6\), pois os valores de \(f(x)\) não ultrapassam \(14\).

Como estamos lidando com uma parábola com a concavidade voltada para baixo (já que o valor máximo ocorre em \(x=6\)), isso significa que a função poderá intersectar o eixo \(x\) em dois pontos distintos. Portanto, a equação \(ax^2 + bx + c = 0\) terá duas soluções reais distintas.

Agora, para determinar a média aritmética das raízes, podemos usar a propriedade do vértice de uma parábola. Sabemos que o \(x\) do vértice (\(x_v\)) está localizado em \(x = 6\), que é onde \(f(x)\) atinge seu valor máximo. Assim, podemos afirmar que:

\(x_v = \frac{x_1 + x_2}{2}\)

onde \(x_1\) e \(x_2\) são as raízes da equação. Substituindo:

\(6 = \frac{x_1 + x_2}{2}\)

Multiplicando ambos os lados por \(2\), temos:

\(x_1 + x_2 = 12\)

Deste modo, podemos concluir que a média aritmética das raízes \(x_1\) e \(x_2\) é igual a \(6\), que é a afirmativa corroborada pela alternativa correta.

Assim, podemos afirmar com certeza que a alternativa escolhida, que diz que a equação \(ax^2 + bx + c = 0\) possui duas soluções reais distintas e que a média aritmética dessas soluções é igual a \(6\), está correta.