Qual deve ser o preço do ingresso para que a receita seja a maior possível?

Gabarito

D

Comentário do professor

Para determinar o preço do ingresso que maximiza a receita do teatro, vamos analisar o problema.

O preço inicial do ingresso é de R$ 20,00, e nessa faixa, o teatro vende cerca de 300 ingressos por espetáculo.

Com a redução de R$ 1,00 no preço, o público aumenta em 40 espectadores. Assim, ao generalizarmos essa relação, se a redução for de x reais, a venda de ingressos será:

\( 300 + 40x \)

O preço do ingresso, após a redução, será:

\( 20 - x \)

A receita total \(R\) em função de \(x\) ficaria então:

\( R(x) = (20 - x) \cdot (300 + 40x) \)

Expandindo essa equação, temos:

\( R(x) = 6000 + 800x - 300x - 40x^2 \)

Isso simplifica para:

\( R(x) = -40x^2 + 500x + 6000 \)

A fórmula da receita é uma função quadrática, cujo gráfico possui concavidade voltada para baixo, indicando que existe um valor máximo de receita que podemos encontrar no vértice dessa parábola.

O ponto \(x_v\) que nos dá a máxima receita é dado pela fórmula:

\( x_v = \frac{-b}{2a} \)

Substituindo os coeficientes \(a = -40\) e \(b = 500\), encontramos:

\( x_v = \frac{-500}{2 \cdot (-40)} = \frac{-500}{-80} = 6,25 \)

Isso mostra que a redução ideal para maximizar a receita é de R$ 6,25. Portanto, o novo preço do ingresso será:

\( 20 - 6,25 = 13,75 \)

Assim, o preço do ingresso que maximiza a receita é de R$ 13,75, que corresponde à alternativa D.