A proposição funcional “Para todo e qualquer valor de n, tem-se 6n < n2 +8” será verdadeira, se n for um número real

Gabarito

Certo

Comentário do professor

A proposição funcional dada é a inequação \(6n < n^2 + 8\). A alternativa correta afirma que essa inequação é verdadeira para valores de \(n\) que são menores que 2.

Para solucioná-la, podemos reescrever a inequação da seguinte forma:

\(n^2 - 6n + 8 > 0\)

Para determinar quando essa expressão é positiva, podemos fatorá-la:

\(f(n) = (n - 2)(n - 4)\)

Os pontos críticos onde a função é zero são \(n = 2\) e \(n = 4\). Agora, precisamos analisar os sinais da função \(f(n)\) em relação a essas raízes:

1. Para \(n < 2\): As duas quantidades \((n - 2)\) e \((n - 4)\) são negativas, logo \(f(n) > 0\).
2. Para \(2 < n < 4\): \((n - 2)\) é positiva e \((n - 4)\) é negativa, assim \(f(n) < 0\).
3. Para \(n > 4\): Ambas as quantidades são positivas, então \(f(n) > 0\).

Com isso, concluímos que a inequação \(n^2 - 6n + 8 > 0\) é verdadeira em dois intervalos:

\(n < 2\) ou \(n > 4\).

Logo, a inequação \(6n < n^2 + 8\) é verdadeira quando \(n\) é menor que 2, o que justifica a escolha da alternativa menor que 2 como a correta.