Sejam as funções reais f(x)= −x2 + 3x +10 e g(x)= x2− 3x. Os valores de x tais que \(\dfrac {\text{f(x)}} {\text{g(x)}} \ge 0\) pertencem ao intervalo

Gabarito

D

Comentário do professor

Na alternativa correta, temos os intervalos \([-2, 0[\) e \([3, 5]\) como solução para a inequação \(\dfrac{f(x)}{g(x)} \ge 0\).

Vamos entender como chegamos a esses intervalos.

Primeiramente, a inequação é satisfeita se \(f(x)\) e \(g(x)\) têm o mesmo sinal, ou seja:

• ambas são positivas, ou
• ambas são negativas.

Para a primeira situação, analisamos quando ambas as funções são positivas.

A função \(f(x) = -x^2 + 3x + 10\) é uma parábola com concavidade voltada para baixo. Através da solução da equação \(f(x) = 0\), encontramos as raízes \(x = -2\) e \(x = 5\). Como a parábola é invertida, \(f(x) > 0\) para \(x\) no intervalo \([-2, 5]\).

Agora, considerando \(g(x) = x^2 - 3x\), que é uma parábola com concavidade voltada para cima, temos que \(g(x) > 0\) em dois intervalos: \(x < 0\) ou \(x > 3\).

Portanto, para que ambas as funções sejam positivas, precisamos da interseção dos intervalos. A interseção de \([-2, 5]\) com \(x < 0\) resulta no intervalo \([-2, 0[\) e a interseção de \([-2, 5]\) com \(x > 3\) resulta em \(]3, 5]\).

Para a segunda situação, consideramos quando ambas as funções são negativas. Neste caso:

A função \(f(x)\) será negativa para \(x < -2\) ou \(x > 5\), enquanto \(g(x)\) será negativa entre \(0\) e \(3\).

Contudo, não existe uma interseção válida que satisfaça a condição de ambas serem negativas ao mesmo tempo.

Assim, após a análise, os intervalos que satisfazem a inequação \(\dfrac{f(x)}{g(x)} \ge 0\) são exatamente \([-2, 0[\) e \([3, 5]\), conforme apresentado na alternativa correta.