Questão FC188581
De acordo com esse modelo, depois de quantos dias a área contaminada estará triplicada?
Funções e Inequações
CESGRANRIO · 2021
Um fungo está se alastrando na parede, e a área contaminada pelo fungo varia no tempo de acordo com a função \(A: [0, \infty) \to \mathbb R\), dada por \(A(t) = A_0 ⋅ b^t\), em que \(b ∈ \mathbb R\) é uma constante maior que \(1;A_0\) é a área da parede contaminada no instante inicial; e \(A(t)\) é a área contaminada após t dias.
De acordo com esse modelo, depois de quantos dias a área contaminada estará triplicada?
- \(\sqrt [b]3\)
- \(\sqrt [3]b\)
- \(log_b3\)
- \(log_3b\)
- \(log_b \left( { \large 1 \over 3}\right)\)
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Para resolver a questão, precisamos determinar após quantos dias a área contaminada pelo fungo estará triplicada, ou seja, queremos encontrar \( t \) tal que \( A(t) = 3 \cdot A_0 \).
Sabemos que a função que descreve a área contaminada é:
\( A(t) = A_0 \cdot b^t \)
Substituindo na equação, temos:
\( A_0 \cdot b^t = 3 \cdot A_0 \)
Dividindo ambos os lados por \( A_0 \) (sendo \( A_0 \) diferente de zero), obtemos:
\( b^t = 3 \)
Agora, para resolver a equação \( b^t = 3 \), utilizamos o logaritmo na base \( b \) em ambos os lados:
\( \log_b(b^t) = \log_b(3) \)
Através da propriedade dos logaritmos, sabemos que \( \log_b(b^t) = t \cdot \log_b(b) \). Como \( \log_b(b) = 1 \), isso simplifica para:
\( t \cdot 1 = \log_b(3) \)
Portanto, temos:
\( t = \log_b(3) \)
Assim, a alternativa correta é:
Letra C
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