A movimentação de cargas realizada pela empresa X, em 2017, gerou uma receita líquida (RL) de 20 milhões de reais, enquanto sua principal concorrente, a empresa Y, anunciou, no mes

Gabarito

D

Comentário do professor

Vamos analisar a alternativa correta, que indica que o tempo necessário para que a receita líquida (RL) da empresa Y ultrapasse a RL da empresa X é de aproximadamente 12,5 anos.

A empresa X, hoje com uma receita líquida de 20 milhões e um crescimento de 8% ao ano, poderá ser representada pela função:

\(f(n) = 20 \times 1,08^n\)

Por outro lado, a empresa Y, com uma receita líquida de 10 milhões e um crescimento de 14% ao ano, é representada pela função:

\(g(n) = 10 \times 1,14^n\)

Desejamos encontrar o tempo \(n\) em que a RL da empresa Y ultrapasse a da empresa X, ou seja, precisamos resolver a inequação:

\(g(n) > f(n)\)

Substituindo as funções, temos:

\(10 \times 1,14^n > 20 \times 1,08^n\)

Rearranjando os termos, obtemos:

\(\left (\frac{1,14}{1,08}\right )^n > 2\)

Aplicamos logaritmo nos dois lados da inequação:

\(n \times \log\left (\frac{1,14}{1,08}\right ) > \log 2\)

A partir dos dados fornecidos, sabemos que:

\(\log 1,14 \approx 0,146\) e \(\log 1,08 \approx 0,033\).

Portanto:

\(\log\left (\frac{1,14}{1,08}\right ) \approx 0,113\)

Assim, podemos substituir na inequação:

\(n \times 0,113 > 0,301\)

Desse modo, isolamos \(n\):

\(n > \frac{0,301}{0,113} \approx 2,66\)

Realizando o cálculo:

\(n \approx 12,54\)

Portanto, concluímos que a resposta mais próxima para o tempo mínimo necessário, em anos, para que a RL da empresa Y ultrapasse a RL da empresa X é de 12,5 anos.