Quanto maior for a profundidade de um lago, menor será a luminosidade em seu fundo, pois a luz que incide em sua superfície vai perdendo a intensidade em função da profundidade do

Gabarito

Errado

Comentário do professor

Para resolver a questão, precisamos entender a relação entre a profundidade do lago e a intensidade da luz. Temos a função que representa essa relação:

\( y = i_0 \cdot (0,6)^{\frac{x}{88}} \)

Aqui, \( y \) é a intensidade da luz a uma profundidade \( x \) (em cm) e \( i_0 \) é a intensidade da luz na superfície do lago.

A questão menciona que, na profundidade máxima do lago, a intensidade da luz se reduz a \(\frac{i_0}{3}\). Então, podemos escrever:

\( \frac{i_0}{3} = i_0 \cdot (0,6)^{\frac{x}{88}} \)

Para simplificar, dividimos ambos os lados da equação por \( i_0 \) (desde que \( i_0 \) é diferente de zero):

\( \frac{1}{3} = (0,6)^{\frac{x}{88}} \)

Agora, aplicamos o logaritmo em ambos os lados dessa equação. Usando a propriedade do logaritmo, temos:

\( \log \left(\frac{1}{3}\right) = \frac{x}{88} \cdot \log(0,6) \)

Sabemos que \(\log \left(\frac{1}{3}\right)\) pode ser escrito como \(-\log(3)\). Assim, a equação fica:

\( -\log(3) = \frac{x}{88} \cdot \log(0,6) \)

Agora, usando os valores dados para os logaritmos, onde \(\log 3 = 0,48\) e \(\log 0,6 = \log\left(\frac{2}{10} \cdot 3\right) = \log 2 + \log 3 - \log 10\), substituímos \(\log 2 = 0,30\) e \(\log 10 = 1\):

\( \log(0,6) = 0,30 + 0,48 - 1 = -0,22 \)

Substituindo os logaritmos na equação:

\( -0,48 = \frac{x}{88} \cdot (-0,22) \)

Multiplicando ambos os lados por \(-88\), obtemos:

\( 42,24 = 0,22x \)

Finalmente, isolamos \( x \):

\( x = \frac{42,24}{0,22} \approx 192 \text{ cm} \)

Assim, sabemos que a profundidade do lago está entre 190 e 200 cm, confirmando a alternativa correta que corresponde a esse intervalo.

Por isso, a resposta é a opção **E: 190 e 200**.