Para qualquer número real x, tal que 0 < x < 1, ao se considerar \(\text{y} = \large{1 \over 2 \text{x}^2}\), tem-se

Gabarito

Errado

Comentário do professor

Vamos analisar a alternativa correta (E): {\large{1 \over 2}} < {\large{1 \over 2 \text{x}}} < \text{y}.

Seja \( y = \frac{1}{2x^2} \) e sabendo que \( 0 < x < 1 \), podemos entender como cada parte da desigualdade se relaciona.

Primeiro, considere a expressão \( \frac{1}{2x} \). Como \( 0 < x < 1 \), o valor de \( 2x \) vai variar entre 0 e 2, tornando \( \frac{1}{2x} \) um valor maior que \( \frac{1}{2} \). Assim, temos:

\( \frac{1}{2} < \frac{1}{2x} \)

Agora, vamos focar na comparação entre \( \frac{1}{2x} \) e \( y \). Ao reescrever \( y \) como \( \frac{1}{2x^2} \), podemos ver que, para \( x \) neste intervalo, \( x^2 \) é sempre menor que \( x \). Portanto, o denominador \( 2x^2 < 2x \) implica que:

\( \frac{1}{2x^2} > \frac{1}{2x} \). Logo, temos:

\( \frac{1}{2x} < y \)

Com isso, conseguimos estabelecer as três desigualdades:

\( \frac{1}{2} < \frac{1}{2x} < y \)

Portanto, a alternativa (E) é verdadeira, pois conecta corretamente as relações entre \( \frac{1}{2} \), \( \frac{1}{2x} \) e \( y = \frac{1}{2x^2} \) dentro do intervalo dado.