Uma população tem hoje P indivíduos e cresce a uma taxa constante de 25% ao ano. Sabendo-se que log102 = 0,30, estima-se que o número de indivíduos desta população daqui a vinte an

Gabarito

D

Comentário do professor

A alternativa correta é a letra D, que afirma que o número de indivíduos na população daqui a 20 anos será \(100P\).

Para entender essa afirmação, precisamos analisar primeiro o crescimento da população, que ocorre a uma taxa constante de 25% ao ano.

Se a população atual é \(P\), no final do primeiro ano, ela terá:

\(1{,}25 \times P = 1{,}25P\)

Após dois anos, a população será:

\(1{,}25 \times 1{,}25P = 1{,}25^2P\)

Seguindo esse padrão, após 20 anos, a população se tornará:

\(1{,}25^{20}P\)

Agora, precisamos calcular o valor de \(1{,}25^{20}\). Utilizando logaritmos, podemos dizer que:

\(\log(1{,}25^{20}) = 20 \cdot \log(1{,}25)\)

Sabemos que \(1{,}25\) pode ser escrito como \(\frac{125}{100}\), o que nos leva a:

\(\log(1{,}25) = \log\left(\frac{125}{100}\right) = \log(125) - \log(100)\)

Substituindo \( \log(125) = 3 \log(5) \) e \( \log(100) = 2 \), então temos:

\(\log(1{,}25) = 3 \log(5) - 2\)

Utilizando a aproximação dada na questão, \( \log_{10} 2 \approx 0{,}30 \):

\(\log(1{,}25) \approx 0{,}1\)

Assim, podemos calcular:

\(\log(1{,}25^{20}) = 20 \times 0{,}1 = 2\)

Portanto, \(1{,}25^{20} = 10^2 = 100\). Isso nos leva a concluir que, após 20 anos, a população será:

\(100P\)

Assim, a alternativa correta é de fato \(100P\), mostrando que a população crescerá de forma exponencial ao longo dos anos.