Considerem-se as funções logarítmicas f(x) = log4 x e g(x) = log2 x, ambas de domínio \(\mathbb{R}_{+}^ {*}\) . Calculando-se f(72) − g(3), o valor encontrado será de

Gabarito

B

Comentário do professor

Vamos analisar a alternativa correta, que nos apresenta o resultado \(1,5\) para a expressão \(f(72) - g(3)\).

Primeiramente, identificamos as funções:

• \(f(72) = \log_4 72\)
• \(g(3) = \log_2 3\)

Para resolver \(f(72) - g(3)\), precisamos fazer uma mudança de base para facilitar o cálculo. A fórmula da mudança de base é:

\( \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \)

Aplique essa fórmula na função \(f(72)\):

\(f(72) = \log_4 72 = \frac{\log_2 72}{\log_2 4}\)

Sabemos que \(\log_2 4 = 2\), logos temos:

\(f(72) = \frac{\log_2 72}{2}\)

Agora, substituímos essa expressão na subtração:

\(f(72) - g(3) = \frac{\log_2 72}{2} - \log_2 3\)

Reescrevendo a expressão, podemos combinar os logaritmos:

\(= \frac{\log_2 72 - 2\log_2 3}{2}\)

Utilizando a propriedade do logaritmo da potência \((\log_b a^n = n \log_b a)\), obtemos:

\(= \frac{\log_2 72 - \log_2 9}{2}\)

Agora, aplicando a propriedade do logaritmo do quociente \((\log_b \frac{a}{c} = \log_b a - \log_b c)\):

\(= \frac{\log_2 \frac{72}{9}}{2}\)

Calculando \(\frac{72}{9}\), obtemos \(8\):

\(= \frac{\log_2 8}{2}\)

Como sabemos que \(\log_2 8 = 3\) (pois \(2^3 = 8\)), temos:

\(= \frac{3}{2}\)

Portanto, \(f(72) - g(3) = 1,5\).

Desta forma, a alternativa correta é a letra B, que apresenta o valor final de \(1,5\).