Se \(y= \log_{81} \left( \large{1 \over 27} \right)\) e \(x ∈ \mathbb{R}_+\) são tais que \(x^y=8\), então \(x\) é igual a

Gabarito

A

Comentário do professor

Para resolver a questão proposta, precisamos começar analisando a expressão dada:

\(y = \log_{81} \left( \frac{1}{27} \right)\)

Utilizando a definição de logaritmos, podemos reescrever isso como:

\(81^y = \frac{1}{27}\)

A próxima etapa é expressar os números em uma base comum. Sabemos que:

\(81 = 3^4\) e \(27 = 3^3\)

Assim, a equação se transforma em:

\((3^4)^y = 3^{-3}\)

Aplicando as propriedades das potências, obtemos:

\(3^{4y} = 3^{-3}\)

Como as bases são iguais, podemos igualar os expoentes:

\(4y = -3\)

Resolvendo para \(y\), temos:

\(y = \frac{-3}{4}\)

Agora, com o valor de \(y\) definido, prosseguimos para a segunda parte da equação dada na questão:

\(x^y = 8\)

Substituindo o valor de \(y\), ficamos com:

\(x^{\frac{-3}{4}} = 8\)

Sabendo que \(8\) pode ser expresso como \(2^3\), reescrevemos a equação:

\(x^{\frac{-3}{4}} = 2^3\)

Para resolver a equação, elevamos ambos os lados à potência de \(\frac{-4}{3}\):

\(\left( x^{\frac{-3}{4}} \right)^{\frac{-4}{3}} = \left( 2^3 \right)^{\frac{-4}{3}}\)

Isso simplifica para:

\(x^1 = 2^{-4}\)

Portanto, temos:

\(x = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16}\)

Dessa forma, conseguimos comprovar que a alternativa correta é:

Letra A: \(\frac{1}{16}\)