Questão FC188594
Qual é o ET(60)?
Funções e Inequações
CESGRANRIO · 2011
O “erro logarítmico” de ordem n (n natural maior que 1) de uma medição x (x real maior que um) é dado por
\(\mathrm{E_n\,(X)\,=\,{1\over\,log_n\mathrm{\,x}}}\) .
Três técnicos avaliam, quanto ao erro logarítmico, uma medida, sendo que o primeiro avalia o erro de ordem 3, o segundo, o erro de ordem 4, e o terceiro, o erro de ordem 5. Por fim, os erros avaliados são somados, e o resultado é o erro total (ET(x)) daquela medição.
Qual é o ET(60)?
- 0
- 1
- log3 60 + log4 60 + log5 60
- log3 60.log4 60 + log4 60.log5 60 + log5 60.log3 60
- \(1\over\,\mathrm{log_3\,60.log_4\,60.log_5\,60}\)
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Gabarito
B
Comentário do professor
Vamos analisar a alternativa correta, que é a proposta para o Erro Total \(ET(60) = 1\).
Inicialmente, os três técnicos avaliaram a medição \(x = 60\) da seguinte maneira:
1º Técnico: Com um erro de ordem 3, temos:
\(E_3(60) = \frac{1}{\log_3 60}\)
2º Técnico: Com um erro de ordem 4, temos:
\(E_4(60) = \frac{1}{\log_4 60}\)
3º Técnico: Com um erro de ordem 5, temos:
\(E_5(60) = \frac{1}{\log_5 60}\)
O Erro Total é a soma dos erros individuais:
\(ET(60) = E_3(60) + E_4(60) + E_5(60)\)
Substituindo as fórmulas, temos:
\(ET(60) = \frac{1}{\log_3 60} + \frac{1}{\log_4 60} + \frac{1}{\log_5 60}\)
Para prosseguir, vamos utilizar a propriedade da mudança de base dos logaritmos, que nos permite reescrever as frações:
\(\frac{1}{\log_n x} = \log_x n\)
Aplicando isso, obtemos:
\(ET(60) = \log_{60} 3 + \log_{60} 4 + \log_{60} 5\)
De acordo com a propriedade do logaritmo do produto, podemos somar os logaritmos:
\(ET(60) = \log_{60} (3 \times 4 \times 5)\)
Calculando \(3 \times 4 \times 5\), resulta em:
\(ET(60) = \log_{60} 60\)
Finalmente, sabemos que \( \log_{60} 60 = 1\). Portanto, o valor do Erro Total é:
\(ET(60) = 1\)
Assim, confirmamos que a alternativa correta é 1.
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