Sendo a função \(f(x)=2 \cdot \log_5 \left( \large{3x \over 4} \right)\), em que x é um número real positivo, f(17) é um número real compreendido entre

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Vamos analisar a função \(f(x)=2 \cdot \log_5 \left(\frac{3x}{4}\right)\) e calcular \(f(17)\).

Substituindo \(x\) por 17, temos:

\(f(17)=2 \cdot \log_5 \left(\frac{3 \cdot 17}{4}\right)\)

Isso simplifica para:

\(f(17)=2 \cdot \log_5 \left(\frac{51}{4}\right)\)

Cálculo da fração:

\(f(17)=2 \cdot \log_5 (12.75)\)

A próxima etapa é transformar \(f(17)\) em uma forma mais conveniente:

\(f(17)=\log_5 (12.75^2)\)

\(f(17)=\log_5 (162.5625)\)

Precisamos agora determinar entre quais números \(f(17)\) se encontra. Vamos considerar as potências de 5:

• \(5^3=125\);
• \(5^4=625\);

Observamos que:

\(125 < 162.5625 < 625\)

Com isso, podemos comparar as potências:

\(5^3 < 5^y < 5^4\)

Cancelando as bases, chegamos à conclusão:

\(3 < y < 4\)

Isso nos permite afirmar que o valor de \(f(17)\) está compreendido entre 3 e 4.

Portanto, a alternativa correta é a letra C.