As grandezas x e y são tais que x2 = 1000y. O gráfico que melhor representa a relação entre os logaritmos decimais de x e de y é

Gabarito

D

Comentário do professor

Para analisarmos a alternativa correta (D), vamos iniciar com a relação dada entre x e y:

\(x^2 = 1000y\)

Ao aplicarmos o logaritmo decimal em ambos os lados, obtemos:

\(\log(x^2) = \log(1000y)\)

Usando a propriedade do logaritmo que permite transformar a potência em um coeficiente, temos:

\(2\log x = \log 1000 + \log y\)

Sabendo que \(\log 1000 = 3\), pois \(1000 = 10^3\), podemos reescrever a equação como:

\(2\log x = 3 + \log y\)

Se reorganizarmos essa equação, temos:

\(\log y = 2\log x - 3\)

Essa equação representa uma função do 1º grau, onde:

• O coeficiente angular é 2 (indica que, para cada unidade que x aumenta, y aumenta em 2 unidades relacionadas ao logaritmo).
• O termo independente (-3) indica que a reta intercepta o eixo log y em -3.

Quando plotamos essa equação no gráfico, veremos uma linha reta com inclinação positiva, que corta o eixo log y em -3 e o eixo log x em 1.5, conforme calculado:

Para \(\log y = 0\):

\(0 = 2\log x - 3 \Rightarrow \log x = 1.5\)

Isso confirmará que o gráfico pertence à alternativa (D), já que representa uma linha reta com a inclinação correta e pontos de interseção adequados.

Logo, a alternativa correta para a relação entre os logaritmos de x e y está devidamente representada no gráfico da alternativa (D).