A função f (x) = b + loga x, onde \(\alpha \, \epsilon \, R^{\ast}_+ \, - {1} \,\) e \(b \, \epsilon \, R\), está representada no gráfico abaixo. Os valores de a e de b, respectiva

Gabarito

A

Comentário do professor

Vamos analisar a alternativa correta, que indica que os valores de \( a \) e \( b \) são, respectivamente, \({ \large 1 \over 4}\) e 3.

A função dada é:

\(f(x) = b + \log_a x\)

Sabemos que a base \( a \) é positiva e diferente de 1, conforme a definição desse tipo de logaritmo.

Para encontrar o valor de \( b \), observamos o gráfico. Quando \( x = 1 \), o gráfico nos mostra que \( f(1) = 3 \). Agora, substituindo na função:

\(3 = b + \log_a(1)\)

Como \( \log_a(1) = 0 \), temos:

\(3 = b + 0\)

\(b = 3\)

Portanto, já podemos reescrever a função como:

\(f(x) = 3 + \log_a x\)

Agora, para determinar o valor de \( a \), vamos utilizar outra informação do gráfico. Observando que quando \( x = 4 \), a função apresenta o valor de 2:

\(2 = 3 + \log_a(4)\)

Rearranjando a equação, obtemos:

\(\log_a(4) = 2 - 3\)

\(\log_a(4) = -1\)

Aplicando a definição de logaritmo, temos:

\(a^{-1} = 4\)

Invertendo a equação, encontramos:

\(a = {1 \over 4}\)

Assim, confirmamos que os valores \( a = {1 \over 4} \) e \( b = 3 \) estão corretos, corroborando a alternativa A.