A função \(f: \mathbb{R}- \{-1\} \to \mathbb{R}\) é dada por \(f(x)=\large{2x-1 \over x+1}\). Se \(f(f(p))= \large{2 \over 3}\), então p é igual a

Gabarito

Errado

Comentário do professor

A alternativa correta é a letra E, que afirma que \( p = 3 \).

Para resolvê-la, começamos com a função definida como \( f(x) = \frac{2x-1}{x+1} \).

Sabemos que \( f(f(p)) = \frac{2}{3} \). Vamos primeiro encontrar \( f(p) \). Substituindo \( p \), temos:

\( f(p) = \frac{2p-1}{p+1} \)

Agora, substituímos \( f(p) \) na função \( f \) novamente:

\( f(f(p)) = f\left(\frac{2p-1}{p+1}\right) = \frac{2\left( \frac{2p-1}{p+1} \right) - 1}{\left( \frac{2p-1}{p+1} \right) + 1} \)

Precisamos simplificar essa expressão para encontrar o valor de \( p \). Vamos calcular:

\( f(f(p)) = \frac{\frac{4p-2}{p+1} - 1}{\frac{2p-1}{p+1} + 1} \)

Reorganizando, obtemos:

\( f(f(p)) = \frac{4p-2 - (p+1)}{2p-1 + (p+1)} = \frac{4p-2-p-1}{2p-1 + p+1} = \frac{3p-3}{3p} \)

Agora, sabemos que isso deve ser igual a \( \frac{2}{3} \):

\( \frac{3(p-1)}{3p} = \frac{2}{3} \)

Multiplicando em cruz e simplificando, obtemos:

\( 3(p-1) = 2p \)

\( 3p - 3 = 2p \)

Subtraindo \( 2p \) de ambos os lados, temos:

\( p = 3 \)

Portanto, \( p = 3 \) torna-se a solução correta, confirmando que a alternativa correta realmente é a letra E.