Seja f uma função real definida no conjunto dos números naturais. Sabe-se que, para todo n natural,\(f(n+1)=\frac{f(n)-5}{f(n)-3}\), e que\(f(0)=7\). O valor de f(2.015) será

Gabarito

A

Comentário do professor

Vamos analisar o valor da função f(n) para determinar f(2.015), dado que conhecemos a relação recursiva:

\( f(n+1) = \frac{f(n) - 5}{f(n) - 3} \quad \text{e} \quad f(0) = 7 \)

Começamos calculando os primeiros valores:

Para f(1):

\( f(1) = \frac{f(0) - 5}{f(0) - 3} = \frac{7 - 5}{7 - 3} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)

Para f(2):

\( f(2) = \frac{f(1) - 5}{f(1) - 3} = \frac{\frac{1}{2} - 5}{\frac{1}{2} - 3} = \frac{\frac{-9}{2}}{\frac{-5}{2}} = \frac{9}{5} \)

Agora para f(3):

\( f(3) = \frac{f(2) - 5}{f(2) - 3} = \frac{\frac{9}{5} - 5}{\frac{9}{5} - 3} = \frac{\frac{-16}{5}}{\frac{-6}{5}} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3} \)

Calculando f(4) e observando o ciclo:

\( f(4) = \frac{f(3) - 5}{f(3) - 3} = \frac{\frac{8}{3} - 5}{\frac{8}{3} - 3} = \frac{\frac{-7}{3}}{\frac{-1}{3}} = 7 \)

Assim, temos:

• f(0) = 7
• f(1) = \frac{1}{2}
• f(2) = \frac{9}{5}
• f(3) = \frac{8}{3}

Perceba que a sequência se repete a cada 4 termos, formando um ciclo. Sabendo que os valores se repetem, para encontrar f(2.015), calculamos:

Como a sequência é cíclica, fazemos:

\( 2016 \div 4 = 504 \quad \text{(resto 0)} \)

O resto 0 indica que f(2.015) corresponde ao último valor do ciclo, que é f(3).

Assim, temos:

\( f(2.015) = \frac{8}{3} \)

Portanto, o valor de f(2.015) é 8/3.