Uma função F é definida de modo que F(2007) = F(2008) = F(2009) = 1 e é tal que vale a relação \(F(n+1)=\dfrac {F(n)+F(n-1)+3}{F(n-2)}\), para \(n > 3\). O valor de F(2012) é

Gabarito

A

Comentário do professor

Para determinar o valor de \( F(2012) \), utilizamos a relação dada na questão, que é:

\( F(n+1) = \dfrac{F(n) + F(n-1) + 3}{F(n-2)} \)

Sabemos que:

• \( F(2007) = 1 \)
• \( F(2008) = 1 \)
• \( F(2009) = 1 \)

Vamos calcular \( F(2010) \) utilizando \( n = 2009 \):

\( F(2010) = \dfrac{F(2009) + F(2008) + 3}{F(2007)} \)

Substituindo os valores, temos:

\( F(2010) = \dfrac{1 + 1 + 3}{1} = \dfrac{5}{1} = 5 \)

Agora, vamos calcular \( F(2011) \) usando \( n = 2010 \):

\( F(2011) = \dfrac{F(2010) + F(2009) + 3}{F(2008)} \)

Substituindo:

\( F(2011) = \dfrac{5 + 1 + 3}{1} = \dfrac{9}{1} = 9 \)

Por fim, vamos calcular \( F(2012) \) usando \( n = 2011 \):

\( F(2012) = \dfrac{F(2011) + F(2010) + 3}{F(2009)} \)

Substituindo os valores que encontramos:

\( F(2012) = \dfrac{9 + 5 + 3}{1} = \dfrac{17}{1} = 17 \)

Logo, o valor de \( F(2012) \) é 17, que corresponde à alternativa correta (A).