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Questão FC188619

Funções trigonométricas são comumente utilizadas em modelos que envolvam fenômenos periódicos, como os que incluem variações sazonais. Dentre as funções abaixo, aquela que represen

Funções e Inequações

CESGRANRIO · 2010

Funções trigonométricas são comumente utilizadas em modelos que envolvam fenômenos periódicos, como os que incluem variações sazonais. Dentre as funções abaixo, aquela que representa a produção total de um certo produto, em toneladas, de periodicidade anual, em função do tempo t, expresso em meses, é

  1.  \(f(t)=900 \, \sin(6t+2)\)
  2.  \(f(t)=900 \, \sin(t+\large{\pi \over 6})\)
  3.  \(f(t)=900 \, \sin({\large{\pi t \over 6}}+ {\large{\pi \over 2}})\)
  4.  \(f(t)=900 \, \sin({\large{\pi t \over 24}}+{\large{\pi \over 6}})\)
  5.  \(f(t)=900 \, \sin({\large{t \over 6}}+{\large{1 \over 2}})\)
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Gabarito

Certo

Comentário do professor

A alternativa correta é \(f(t)=900 \, \sin\left(\frac{\pi t}{6}+ \frac{\pi}{2}\right)\). Vamos analisar essa função e entender seu significado no contexto da questão.

A função é uma função senoidal, que é típica para modelar fenômenos periódicos, como a produção de um produto ao longo do tempo, considerando um ciclo anual.

Primeiramente, podemos observar que o coeficiente \(900\) representa o valor máximo da produção, ou seja, a produção total máxima do produto em toneladas em um ciclo anual.

Em seguida, temos o argumento da função senoidal \(\left(\frac{\pi t}{6} + \frac{\pi}{2}\right)\). Aqui, precisamos destacar:

  • A frequência da função, que pode ser deduzida do coeficiente de \(t\) dentro do seno. Podemos observar que \(\frac{\pi}{6}\) indica uma periodicidade mensal, já que o período da função \(T\) é obtido pela fórmula \(T = \frac{2\pi}{\omega}\).
  • O fase inicial, representada pelo termo \(\frac{\pi}{2}\), que desloca a função no tempo. Isto significa que a produção atinge seu pico \(900\) não no início do período, mas em um momento deslocado.

Para entender melhor, podemos falar sobre o período da função: dado que o período anual corresponde a 12 meses, a frequência \(\left(f = \frac{1}{T}\right)\) nos permite ver que essa função realmente se comporta de forma cíclica ao longo do ano, atingindo máxima produção a cada ciclo de 12 meses.

Portanto, a alternativa correta não só representa uma função periódica, mas também determina claramente uma produção máxima mensal ao longo de um ano, coincidente com a noção de sazonalidade. Assim, a função pode representar a produção em um ciclo anual de forma precisa e informativa.

Resposta correta: Alternativa C

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