Lembrando que cosseno hiperbólico de x tem como expressão \(\cos h(t)= \large{e^t+e^{-t} \over 2}\), então, o conjunto imagem de \(\cos h^2(t)\) é o intervalo real

Gabarito

A

Comentário do professor

A alternativa correta é [1, +∞[, que representa o conjunto imagem de \(\cosh^2(t)\). Vamos entender por que essa é a resposta correta.

A função cosseno hiperbólico é dada por:

\(\cosh(t) = \frac{e^t + e^{-t}}{2}\)

Sabemos que para qualquer valor de \(t\), \(\cosh(t) \geq 1\). Isso ocorre porque a soma \(e^t + e^{-t}\) é sempre maior ou igual a 2, devido à desigualdade de Cauchy-Schwarz ou simplesmente pela análise do gráfico da função. Assim:

\(\cosh(t) \geq 1 \Rightarrow \cosh^2(t) \geq 1^2\)

Portanto, ao elevar \(\cosh(t)\) ao quadrado, obtemos:

\(\cosh^2(t) \geq 1\)

Assim, a imagem de \(\cosh^2(t)\) é o intervalo que começa em 1 (incluindo) e vai até o infinito, ou seja, \([1, +\infty[\). Isso significa que, independentemente do valor que \(t\) assumir, o resultado de \(\cosh^2(t)\) nunca será menor que 1.

Logo, a conclusão é de que a função \(\cosh^2(t)\) realmente cobre todos os valores a partir de 1 até o infinito, corroborando a alternativa correta como [1, +∞[.