Questão FC188621
Quando um cabo flexível e homogêneo é suspenso por suas extremidades em dois pontos de mesma altura e a única força atuando sobre o cabo é o seu próprio peso, a curva descrita por
Funções e Inequações
CESGRANRIO · 2010
Quando um cabo flexível e homogêneo é suspenso por suas extremidades em dois pontos de mesma altura e a única força atuando sobre o cabo é o seu próprio peso, a curva descrita por esse cabo é denominada catenária, denominação derivada do termo latino catena (corrente). Os cabos de alta tensão suspensos entre duas torres de mesma altura são exemplos de catenária. As catenárias não devem ser confundidas com as parábolas.
O gráfico acima ilustra um par de eixos cartesianos colocados sobre uma catenária C, de forma que a origem do sistema coincida com o ponto mais baixo da curva. Nessas circunstâncias, a equação da catenária é dada por
\(y=\alpha \cdot cosh(\frac{x}{\alpha})-\alpha, -1 \le x \le 1\)
em que:
- \(\alpha\) é uma constante que, no caso de um cabo, depende da tensão do cabo no ponto O, da gravidade e da densidade do cabo;
- cosh(t), a função denominada cosseno hiperbólico de t, é tal que \(cosh(t)=\frac{e^t+e^{-t}}{2}\).
Considere uma catenária C cuja equação é y = cosh(x) - 1.
A altura h dessas extremidades é
- \(0\)
- \(e^2\)
- \(\frac{e^2+1}{e}\)
- \(\frac{e^2+e+1}{2e}\)
- \(\frac{e^2-2e+1}{2e}\)
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Para determinar a altura \( h \) das extremidades da catenária dada pela equação \( y = cosh(x) - 1 \), vamos analisar o comportamento da função de cosseno hiperbólico.
A altura \( h \) é calculada nos pontos extremos do intervalo, onde \( x = 1 \) ou \( x = -1 \). Portanto, substituímos \( x = 1 \) na equação:
\( h = cosh(1) - 1 \)
A função \( cosh(x) \) é definida como:
\( cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2} \)
Substituindo na expressão de \( h \), temos:
\( h = \frac{e^1 + e^{-1}}{2} - 1 \)
Para simplificar, escrevemos \( 1 \) como \( \frac{2}{2} \):
\( h = \frac{e + e^{-1}}{2} - \frac{2}{2} \)
\( h = \frac{e + e^{-1} - 2}{2} \)
Agora, para relacionar isso com a alternativa correta, note que queremos que o resultado seja da forma \( \frac{e^2 - 2e + 1}{2e} \). Para isso, multiplicamos o numerador e o denominador da fração por \( e \):
\( h = \frac{e(e + e^{-1} - 2)}{2e} \)
Ao expandir o numerador, obtemos:
\( h = \frac{e^2 + 1 - 2e}{2e} \)
Reordenando os termos, chegamos à expressão:
\( h = \frac{e^2 - 2e + 1}{2e} \)
Assim, verificamos que a altura das extremidades \( h \) corresponde exatamente à alternativa E.
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