Considere que sen \(\beta = 0,8\) e \(cos\,\theta= 0,5\), com \(\theta, \beta\, \, \in [0, \pi /2]\)Considerando-se 1,7 como aproximação para \(\sqrt{3}\) , o valor mais próximo do

Gabarito

D

Comentário do professor

A alternativa correta apresenta o valor de \({\large \frac{sen\,2 \beta}{sen\,2 \theta} \approx 1,13}\).

Primeiramente, para calcular \(\sin 2\beta\) e \(\sin 2\theta\), utilizamos a fórmula do seno do arco duplo, que é dada por:

\(\sin 2\alpha = 2 \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha\).

Substituímos \(\beta\) e \(\theta\) nas fórmulas:

Para o ângulo \(\beta\) temos:

\(\sin 2 \beta = 2 \cdot \sin \beta \cdot \cos \beta\)

\(\sin 2 \beta = 2 \cdot 0,8 \cdot 0,6 = 0,96\).

Agora, para o ângulo \(\theta\):

\(\sin 2 \theta = 2 \cdot \sin \theta \cdot \cos \theta\)

Sabemos que \(\sin \theta = 0,85\) (aproximação de \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)). Portanto:

\(\sin 2 \theta = 2 \cdot 0,85 \cdot 0,5 = 0,85\).

Com os valores de \(\sin 2 \beta\) e \(\sin 2 \theta\$ calculados, temos:

\({\sin 2 \beta \over \sin 2 \theta} = {0,96 \over 0,85}\).

Realizando a divisão, obtemos aproximadamente:

\(\frac{0,96}{0,85} \approx 1,129\),

que arredondamos para \(1,13\).

Desta forma, a alternativa correta é realmente 1,13.