O maior valor que a expressão \(E = sen x + 2 \sqrt{2} cos x\) pode assumir, para valores reais de x, é

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Para encontrar o maior valor da expressão \(E = \sin x + 2 \sqrt{2} \cos x\), primeiro devemos reconhecer que podemos reescrever a expressão de forma mais conveniente.

Os coeficientes da função trigonométrica são \(1\) para \(\sin x\) e \(2\sqrt{2}\) para \(\cos x\). Esses números podem ser interpretados como os catetos de um triângulo retângulo:

Cateto oposto: \(1\) (coeficiente de \(\sin x\))
Cateto adjacente: \(2\sqrt{2}\) (coeficiente de \(\cos x\))

A hipotenusa \(R\) desse triângulo pode ser obtida pela fórmula:

\(R = \sqrt{(1^2 + (2\sqrt{2})^2)}\)

Calculando, temos:

\(R = \sqrt{1 + 8} = \sqrt{9} = 3\)

Esse valor \(R\) representa o maior que podemos obter para a expressão \(E\), pois a combinação de \(\sin x\) e \(\cos x\) não pode ultrapassar a hipotenusa resultante.

Assim, podemos reescrever a expressão \(E\) como:

\(E = R \cdot \left( \sin \alpha \sin x + \cos \alpha \cos x \right)\)

onde \(\sin \alpha = \frac{1}{3}\) e \(\cos \alpha = \frac{2\sqrt{2}}{3}\). Usando a identidade de adição de ângulos, isso se transforma em:

\(E = 3 \cdot \cos(\alpha - x)\)

Sabemos que a função \(\cos(z)\) atinge seu valor máximo \(1\), quando \(z = 0\). Portanto, o maior valor que \(E\) pode assumir é simplesmente:

\(3 \cdot 1 = 3\)

Logo, a alternativa correta é: 3.