Qual é o cosseno do menor ângulo formado entre as retas \(R_1\) e \(R_2\)?

Gabarito

A

Comentário do professor

Para resolver a questão proposta, vamos analisar as duas retas \( R_1 \) e \( R_2 \) e determinar o cosseno do menor ângulo formado entre elas.

A reta \( R_1 \) tem a equação \( y = \sqrt{3}x + 1 \). O coeficiente angular aqui é \( \sqrt{3} \), que pode ser associado ao ângulo \( \alpha \) que a reta forma com a horizontal. A tangente desse ângulo é igual a \( \sqrt{3} \), o que nos dá um ângulo de \( 60^\circ \). Portanto, temos:

\( \alpha = 60^\circ \)

Por outro lado, a reta \( R_2 \) é dada pela equação \( y = \frac{\sqrt{3}}{3}x + 5 \). O coeficiente angular aqui é \( \frac{\sqrt{3}}{3} \), correspondente a um ângulo \( \beta \) cuja tangente é \( \frac{\sqrt{3}}{3} \). Isso nos indica que o ângulo é de \( 30^\circ \):

\( \beta = 30^\circ \)

O menor ângulo entre as retas \( R_1 \) e \( R_2 \) é a diferença entre esses dois ângulos:

\( \theta = \alpha - \beta = 60^\circ - 30^\circ = 30^\circ \)

Agora, para encontrar o cosseno desse ângulo, precisamos lembrar da relação fundamental das funções trigonométricas. Para um ângulo de \( 30^\circ \), temos:

\( \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

Portanto, o cosseno do menor ângulo formado entre as retas \( R_1 \) e \( R_2 \) é, de fato, \( \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Resposta: A