Sabendo-se que \(sec\, \theta = \frac{1}{cos\, \theta}\), desde que cos \(\ne\) 0, quanto vale sec (2\(\theta\))?

Gabarito

B

Comentário do professor

Para resolver a questão, precisamos encontrar o valor de \( \sec(2\theta) \) dado que \( \tan(\theta) = 3 \).

Sabemos que:

\( \sec(2\theta) = \frac{1}{\cos(2\theta)} \)

Utilizamos a fórmula do cosseno do arco duplo, que é:

\( \cos(2\theta) = \cos^2(\theta) - \sin^2(\theta) \)

A partir de \( \tan(\theta) = 3 \), sabemos que:

\( \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} = 3 \)

Dessa forma, podemos expressar \( \sin(\theta) \) em termos de \( \cos(\theta) \):

\( \sin(\theta) = 3\cos(\theta) \)

Substituindo \( \sin(\theta) \) na fórmula do cosseno do arco duplo, obtemos:

\( \cos(2\theta) = \cos^2(\theta) - (3\cos(\theta))^2 \)

Ao simplificar, temos:

\( \cos(2\theta) = \cos^2(\theta) - 9\cos^2(\theta) = -8\cos^2(\theta) \)

Substituindo essa expressão na fórmula de \( \sec(2\theta) \), temos:

\( \sec(2\theta) = \frac{1}{-8\cos^2(\theta)} \)

Agora, vamos encontrar o valor de \( \cos^2(\theta) \) utilizando a identidade fundamental da trigonometria:

\( \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1 \)

Substituindo \( \sin(\theta) = 3\cos(\theta) \) na identidade, temos:

\( (3\cos(\theta))^2 + \cos^2(\theta) = 1 \)

Isso resulta em:

\( 9\cos^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1 \)

Ou seja:

\( 10\cos^2(\theta) = 1 \)

Logo:

\( \cos^2(\theta) = \frac{1}{10} \)

Substituindo \( \cos^2(\theta) \) na expressão de \( \sec(2\theta) \), obtemos:

\( \sec(2\theta) = \frac{1}{-8 \cdot \frac{1}{10}} \)

Assim:

\( \sec(2\theta) = \frac{10}{-8} = -1,25 \)

Portanto, o valor de \( \sec(2\theta) \) é \(\boxed{-1,25}\), que corresponde à alternativa correta B.