Se x, y e z são números reais positivos, menores que \(\pi\)/2, cuja soma é x + y + z = \(\pi\), então, a soma tg x + tg y + tg z será igual a

Gabarito

D

Comentário do professor

Para analisarmos a alternativa correta, vamos considerar a relação entre as tangentes dos ângulos \(x\), \(y\) e \(z\), dada a condição de que sua soma é igual a \(\pi\):

\(x + y + z = \pi\)

A partir dessa identidade, aplicamos a função tangente em ambos os lados:

\(\tan(x + y + z) = \tan(\pi)\)

Sabemos que \(\tan(\pi) = 0\). Portanto, podemos reescrever a equação como:

\(\tan(x + y + z) = 0\)

Utilizando a fórmula da tangente da soma, temos:

\(\tan(x + y + z) = \frac{\tan(x) + \tan(y) + \tan(z) - \tan(x)\tan(y)\tan(z)}{1 - \tan(x)\tan(y) - \tan(y)\tan(z) - \tan(z)\tan(x)}\)

Como a tangente do lado direito é igual a zero, a parte superior dessa fração também deve ser igual a zero:

\(\tan(x) + \tan(y) + \tan(z) - \tan(x)\tan(y)\tan(z) = 0\)

Rearranjando essa equação, encontramos:

\(\tan(x) + \tan(y) + \tan(z) = \tan(x)\tan(y)\tan(z)\)

Dessa forma, concluímos que a soma das tangentes \( \tan(x) + \tan(y) + \tan(z) \) é igual ao produto das tangentes \( \tan(x)\tan(y)\tan(z) \), justificando a alternativa correta, que é:

Letra D: \( \tan(x) \tan(y) \tan(z) \)