Os números \(\alpha\), \(\mathrm{\beta}\) e \(\delta\) expressam as medidas, em radianos, de três ângulos. Sabe-se que \(\alpha + \beta + \delta ={ 7\pi\over 12}\), e também que \(

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Para resolvê-la, vamos considerar as informações apresentadas na questão. Sabemos que os ângulos \(\alpha\), \(\beta\) e \(\delta\) somam \( \frac{7\pi}{12} \) radianos e formam uma progressão geométrica com razão 2. Assim, podemos expressar as medidas dos ângulos em função de \(\alpha\) da seguinte forma:

\(\beta = 2\alpha\) e \(\delta = 4\alpha\).

Substituindo esses valores na soma dos ângulos, temos:

\(\alpha + 2\alpha + 4\alpha = \frac{7\pi}{12}\).

Isto simplifica para:

\(7\alpha = \frac{7\pi}{12}\).

Daí, dividindo ambos os lados por 7, encontramos:

\(\alpha = \frac{\pi}{12}\).

Agora, podemos calcular os outros ângulos:

\(\beta = 2\left(\frac{\pi}{12}\right) = \frac{\pi}{6}\)

e

\(\delta = 4\left(\frac{\pi}{12}\right) = \frac{\pi}{3}\).

A função dada na questão é \(f(x) = \cos(x)\). Assim, vamos calcular \(f(\beta) - f(2\delta)\):

Para \(\beta = \frac{\pi}{6}\):

\(f(\beta) = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Agora, para \(2\delta = 2\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{2\pi}{3}\):

\(f(2\delta) = \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}\).

Portanto, substituindo os valores obtidos, temos:

\(f(\beta) - f(2\delta) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \left(-\frac{1}{2}\right)\).

Isso se resume a:

\(f(\beta) - f(2\delta) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2}\).

Assim, a alternativa correta é \(\frac{\sqrt{3} + 1}{2}\).