Os ângulos x, y e z medem 30°, 45° e 60°, não necessariamente nessa ordem, e são tais que sen x = cos x, sen y > cos y, e \(\mathrm{tg\,z\,={2\over\,3}{.\,cos\,z}}\). Desse modo, c

Gabarito

A

Comentário do professor

Para resolver a questão, vamos analisar as condições dadas:

Sabemos que \( \sin x = \cos x \). Isso ocorre quando \( x = 45° \), pois neste ângulo, seno e cosseno têm o mesmo valor, \( \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Agora, temos que verificar a condição \( \sin y > \cos y \). No intervalo de 0° a 90°, essa condição é satisfeita quando o ângulo \( y \) é maior que 45°. Portanto, entre os ângulos disponíveis (30°, 45° e 60°), o único que cumpre essa condição é \( y = 60° \).

Com isso, já encontramos os valores de \( x \) e \( y \):
\( x = 45° \)
\( y = 60° \)

Restando, então, o ângulo \( z \), que por eliminação vai ser \( z = 30° \).

Agora, vamos confirmar a última condição: \( \tan z = \frac{2}{3} \cos z \).

Calculando \( \tan 30° \) e \( \cos 30° \):
\( \tan 30° = \frac{1}{\sqrt{3}} \)
\( \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

Agora, substituindo na equação:

\( \tan 30° = \frac{2}{3} \cos 30° \)

Realizando a substituição:

\( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \)

A simplificação nos dá:

\( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \)

Assim, confirmamos que a condição foi satisfeita!

Portanto, concluímos que:
\( x = 45° \), \( y = 60° \), e \( z = 30° \) com a alternativa correta sendo a letra A.