Qual é o valor do ângulo \(\theta\)?

Gabarito

B

Comentário do professor

A alternativa correta é LETRA B, que indica que o valor do ângulo \(\theta\) é \(30^\circ\).

Para resolver essa questão, utilizamos conceitos de triângulos retângulos e as propriedades dos ângulos notáveis.

Sabemos que os pontos A, D e C são colineares e que o triângulo BDC é retângulo em D. Isso significa que podemos aplicar a função tangente para os ângulos \(\hat{A}\) e \(\hat{C}\).

Começamos pela tangente do ângulo \(\hat{A} = 60^\circ\):

\(tg\ 60^\circ = \sqrt{3}\)

Isso nos dá a relação:

\(tg\ 60^\circ = \frac{BD}{AD}\)

onde \(AD\) é a distância entre os pontos A e D. Assim, podemos afirmar que:

\(BD = AD \cdot \sqrt{3}\)

Agora, para o ângulo \(\theta\), utilizamos a tangente novamente:

\(tg\ \theta = \frac{BD}{DC}\)

Como \(DC\) é o triplo da distância \(AD\) (ou seja, \(DC = 3 \cdot AD\)), podemos substituir:

\(tg\ \theta = \frac{AD \cdot \sqrt{3}}{3 \cdot AD} = \frac{\sqrt{3}}{3}\)

Sabendo que \(tg\ 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}\), concluímos que:

\(\theta = 30^\circ\)

Dessa forma, verificamos que a alternativa correta, que apresenta o valor de \(\theta\) como \(30^\circ\), está devidamente fundamentada. Portanto, a validação da alternativa B está completa.