Analise as declarações sobre funções hiperbólicas a seguir. I) \(\sin h(0) + \cos h(0) = 1\) II) \(\sin h(1) + \cos h(1) = e\) III) \(\sin h^2(\pi) + \cos h^2(\pi) = 1\) Está corre

Gabarito

B

Comentário do professor

Vamos analisar as declarações I e II que foram avaliadas como verdadeiras.

Declaração I: \( \sin h(0) + \cos h(0) = 1 \)

Primeiro, precisamos das definições das funções hiperbólicas:

\( \sin h(x) = \dfrac{e^x - e^{-x}}{2} \) e \( \cos h(x) = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2} \)

Substituindo \( x = 0 \):

\( \sin h(0) = \dfrac{e^0 - e^{0}}{2} = \dfrac{0}{2} = 0 \)

\( \cos h(0) = \dfrac{e^0 + e^{0}}{2} = \dfrac{1 + 1}{2} = 1 \)

Portanto:

\( \sin h(0) + \cos h(0) = 0 + 1 = 1 \)

Logo, a declaração I é VERDADEIRA.

Declaração II: \( \sin h(1) + \cos h(1) = e \)

Novamente, usando as definições das funções hiperbólicas:

\( \sin h(1) = \dfrac{e^1 - e^{-1}}{2} \) e \( \cos h(1) = \dfrac{e^1 + e^{-1}}{2} \)

Adicionando estas funções:

\( \sin h(1) + \cos h(1) = \dfrac{e - e^{-1}}{2} + \dfrac{e + e^{-1}}{2} \)

Combinando os termos:

\( = \dfrac{(e - e^{-1}) + (e + e^{-1})}{2} = \dfrac{2e}{2} = e \)

Assim, a declaração II também é VERDADEIRA.

Dessa forma, a alternativa correta considera que apenas as declarações I e II estão corretas.