Sendo x um arco do 2o quadrante tal que \(\tan(x)=\large{-1 \over 3}\), conclui-se que

Gabarito

B

Comentário do professor

Vamos analisar a alternativa correta, que afirma que \(\cos(2x) = \frac{4}{5}\).

Para encontrar \(\cos(2x)\), utilizamos a identidade trigonométrica:

\( \cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) \)

Sabemos que \(\tan(x) = -\frac{1}{3}\). A partir disso, podemos encontrar \(\sin(x)\) e \(\cos(x)\).

Primeiro, a relação \(\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\) nos dá:

\( \sin(x) = -\frac{1}{3} \cos(x) \)

Como estamos no segundo quadrante, onde \(\sin(x) > 0\) e \(\cos(x) < 0\), podemos considerar:\

Se substituirmos \(\sin(x)\) na expressão para \(\tan(x)\), obtemos:

\(1^2 + 3^2 = \text{hipotenusa}^2\)

Assim, \(1 + 9 = 10\), e a hipotenusa é \(\sqrt{10}\).

Portanto, teremos:

\( \sin(x) = \frac{\sqrt{10}}{10} \quad \text{e} \quad \cos(x) = -\frac{3\sqrt{10}}{10} \)

Agora aplicamos esses valores na identidade para \(\cos(2x)\):

\( \cos(2x) = \left(-\frac{3\sqrt{10}}{10}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{10}}{10}\right)^2 \)

Calculando os quadrados:

\( \cos(2x) = \frac{9 \cdot 10}{100} - \frac{10}{100} = \frac{90}{100} - \frac{10}{100} = \frac{80}{100} = \frac{4}{5} \)

Assim, podemos confirmar que a alternativa \(\cos(2x) = \frac{4}{5}\) está de acordo com os cálculos realizados.

Portanto, a alternativa correta é, de fato, a letra B.