Considere as funções \(f(x)=2 \cos x\) e \(g(x)=1+4 \, \cos x\), ambas de domínio real. No intervalo \([0; \pi]\), um dos valores de x que satisfaz a igualdade \(f(x)=g(x)\) é

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Vamos analisar a alternativa correta, que é \(x=\frac{2\pi}{3}\).

Temos as funções \(f(x)=2 \cos x\) e \(g(x)=1+4 \cos x\). Precisamos encontrar os valores de \(x\) para os quais \(f(x) = g(x)\) no intervalo \([0, \pi]\).

Igualando as funções, temos:

\(2 \cos x = 1 + 4 \cos x\)

Rearranjando a equação, obtemos:

\(2 \cos x - 4 \cos x = 1\)

\(-2 \cos x = 1\)

\(\cos x = -\frac{1}{2}\)

Agora, precisamos encontrar o ângulo \(x\) cujo cosseno é igual a \(-\frac{1}{2}\). Sabemos que o cosseno é negativo no segundo e terceiro quadrantes. Porém, como estamos limitados ao intervalo \([0, \pi]\), somente o segundo quadrante nos serve.

No segundo quadrante, o ângulo correspondente é:

\(x = 120^\circ\)

Convertendo este ângulo para radianos, usamos a regra de que \(180^\circ\) corresponde a \(\pi\) radianos. Assim, temos:

\(120^\circ = \frac{120\pi}{180} = \frac{2\pi}{3}\)

Portanto, o valor de \(x\) no intervalo \([0, \pi]\) que satisfaz \(f(x) = g(x)\) é \(\frac{2\pi}{3}\). Essa é a razão pela qual \(x = \frac{2\pi}{3}\) é a alternativa correta.